Question

2．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=$\sqrt{5}$，點E，F分別為AD，BC的中點．如果對于常數λ，在ABCD的四條邊上，有且只有8個不同的點P使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立，那么實數λ的取值范圍為（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 建立坐標系，設P的坐標，根據$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ得到關于x的方程，根據P的位置分四種情況討論方程解得情況．

解答 解：以DC所在直線為x軸，DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系
則梯形的高為$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，∴A（-1，2），B（1，2），C（2，0），D（-2，0），∴E（-$\frac{3}{2}$，1），F（$\frac{3}{2}$，1）．
（1）當P在DC上時，設P（x，0）（-2≤x≤2），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，1）$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}-x$，1）．
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴當λ=-$\frac{5}{4}$時，方程有一解，當$-\frac{5}{4}$＜λ≤$\frac{11}{4}$時，λ有兩解；
（2）當P在AB上時，設P（x，2）（-1≤x≤1），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-1）$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}-x$，-1）．
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴當λ=-$\frac{5}{4}$時，方程有一解，當$-\frac{5}{4}$＜λ≤-$\frac{1}{4}$時，λ有兩解；
（3）當P在AD上時，直線AD方程為y=2x+4，
設P（x，2x+4）（-2＜x＜-1），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-2x-3）$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}-x$，-2x-3）．
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+（-2x-3）²=5x²+12x+$\frac{27}{4}$=λ．
∴當λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$時，方程有一解，當-$\frac{9}{20}＜λ＜$-$\frac{1}{4}$時，方程有兩解；
（4）當P在BC上時，直線BC的方程為y=-2x+4，
設P（x，-2x+4）（1＜x＜2），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，2x-3）$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}-x$，2x-3）．
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+（2x-3）²=5x²-12x+$\frac{27}{4}$=λ．
∴當λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$時，方程有一解，當-$\frac{9}{20}＜λ＜$-$\frac{1}{4}$時，方程有兩解；
綜上，若使梯形上有8個不同的點P滿足$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ成立，
則λ的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$]∩（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{4}$]∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）=（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）．
故答案為：（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，二次函數與二次方程的關系，分類討論思想，屬于中檔題．