Question

7．已知正方方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）異面直線BA₁和CB₁ 的夾角是多少？
（2）A₁B和平面CDA₁B₁所成的角？
（3）平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大��？
（此題寫(xiě)出必要的步驟或說(shuō)明，畫(huà)出必要的輔助線）

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁D，BD，由A₁D∥B₁C，得∠BA₁D是異面直線BA₁和CB₁ 的夾角，由此能求出異面直線BA₁和CB₁ 的夾角．
 （2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A₁B和平面CDA₁B₁所成的角．
（3）求出平面CDA₁B₁和的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大�。�

解答 解：（1）連結(jié)A₁D，BD，∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D是異面直線BA₁和CB₁ 的夾角，
∵A₁D=A₁B=AB，
∴∠BA₁D=60°．
∴異面直線BA₁和CB₁ 的夾角是60°．
 （2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)平面CDA₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，x），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)A₁B和平面CDA₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°．
∴A₁B和平面CDA₁B₁所成的角為30°．
（3）平面CDA₁B₁和的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴α=45°．
∴平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線角、線面角、面面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．