19.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)為Mf(x),定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置.生產(chǎn)x臺(tái)的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位元),其成本函數(shù)為C(x)=600x+2000(單位元),利潤(rùn)等于收入與成本之差.
①求出利潤(rùn)函數(shù)p(x)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp(x)
②求出的利潤(rùn)函數(shù)p(x)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp(x)是否具有相同的最大值;
③你認(rèn)為本題中邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp(x)最大值的實(shí)際意義.

分析 ①由“利潤(rùn)等于收入與成本之差.”可求得利潤(rùn)函數(shù)p(x),由“邊際函數(shù)為Mf(x),定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)”可求得邊際函數(shù).
②由二次函數(shù)法研究p(x)的最大值,由一次函數(shù)法研究Mp(x),對(duì)照結(jié)果即可.
③Mp(x)最大值意義在于它顯示出了,利潤(rùn)的最大增量.當(dāng)從生產(chǎn)0件產(chǎn)品到生產(chǎn)1件產(chǎn)品的過(guò)程中利潤(rùn)增量由0變到2480,Mp(x)是相對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù),能夠很明了的標(biāo)示利潤(rùn)與產(chǎn)量的關(guān)系.

解答 解:①根據(jù)題意:
p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2400x-2000
Mp(x)=p(x+1)-p(x)
=-20(x+1+x)(x+1-x)+2400(x+1-x)
=-40x+2380(0<x≤100,x∈N*); 5分
②p(x)=-20x2+2400x-2000
=-20(x-60)2+74000
∴當(dāng)x=60時(shí),函數(shù)最大值為:74000
∵M(jìn)p(x)=-40x+2380為減函數(shù),
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)最大值為:2340. 10分
故不具有相等的最大值.
③、邊際利潤(rùn)函數(shù)取最大值時(shí),說(shuō)明生產(chǎn)第二臺(tái)機(jī)器與生產(chǎn)第一臺(tái)的利潤(rùn)差最大.12分.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用,涉及了函數(shù)的最值,同時(shí),確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言--數(shù)學(xué)化,再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果,關(guān)鍵是理解題意,將變量的實(shí)際意義符號(hào)化.

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