16.已知實(shí)數(shù)a,b滿足ln(b+1)+a-3b=0,實(shí)數(shù)c,d滿足2d-c+$\sqrt{5}$=0,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為( 。
A.1B.2C.3D.4

分析 (a-c)2+(b-d)2的幾何意義是點(diǎn)(b,a)到點(diǎn)(d,c)的距離的平方,而點(diǎn)(b,a)在曲線y=3x-ln(x+1)上,點(diǎn)(d,c)在直線y=2x+$\sqrt{5}$上.故(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上與直線y=2x+$\sqrt{5}$平行的切線到該直線的距離的平方.利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上斜率為2的切線方程,再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值.

解答 解:由ln(b+1)+a-3b=0,得a=3b-ln(b+1),則點(diǎn)(b,a)是曲線y=3x-ln(x+1)上的任意一點(diǎn),
由2d-c+$\sqrt{5}$=0,得c=2d+$\sqrt{5}$,則點(diǎn)(d,c)是直線y=2x+$\sqrt{5}$上的任意一點(diǎn),
因?yàn)椋╝-c)2+(b-d)2表示點(diǎn)(b,a)到點(diǎn)(d,c)的距離的平方,即曲線上的一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的平方,
所以(a-c)2+(b-d)2的最小值就是曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值的平方,即曲線上與直線y=2x+$\sqrt{5}$平行的切線到該直線的距離的平方.
y'=3-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{3x+2}{x+1}$,令y'=2,得x=0,此時(shí)y=0,即過原點(diǎn)的切線方程為y=2x,
則曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值的平方$ai606kg^{2}=(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}})^{2}=1$.
故選:A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩平行線之間的距離公式,關(guān)鍵是弄清所要求表達(dá)式的幾何意義以及構(gòu)造曲線和直線,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{2}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知正方方體ABCD-A1B1C1D1
(1)異面直線BA1和CB1 的夾角是多少?
(2)A1B和平面CDA1B1所成的角?
(3)平面CDA1B1和平面ABCD所成二面角的大小?
(此題寫出必要的步驟或說明,畫出必要的輔助線)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.空間直角坐標(biāo)系中,已經(jīng)A(-1,2,-3)則A在yOz內(nèi)的射影P1和在x軸上投影P2之間的距離為$\sqrt{14}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.在Rt△ABC中,斜邊BC長(zhǎng)為5,以BC的中點(diǎn)O為圓心,作半徑為2的圓,分別交BC于P、Q兩點(diǎn),則|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=$\frac{73}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.設(shè)曲線y=x2+1及直線y=2所圍成的封閉圖形為區(qū)域D,不等式組$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 0≤y≤2\end{array}\right.$所確定的區(qū)域?yàn)镋,在區(qū)域E內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),該點(diǎn)恰好在區(qū)域D的概率為( 。
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.已知{an}為等比數(shù)列,且-4a1,$\frac{1}{2}$a3,4a2成等比數(shù)列,則$\frac{{{a_5}+{a_7}}}{{{a_3}+{a_5}}}$的值為16.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.設(shè)a=log10072014,b=log10082016,c=log10092018,則(  )
A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知a>0,b>0,若不等式$\frac{3b+a}$≥$\frac{(m+2)a+b}{2a+b}$恒成立,則m的最大值為(  )
A.10B.9C.8D.7

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案