Question

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=

b

x+

a

；
（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？

Answer 1

考點：線性回歸方程,頻率分布表

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗．

解答： 解：（1）繪制散點圖如右
（2）由散點圖可知甲產(chǎn)品的產(chǎn)量x與相應的生產(chǎn)能耗y存在著相關(guān)關(guān)系，且是線性的．
所以可求出線性方程．
Ⅰ．列表

序號	x	y	x2	xy
1	3	2.5	9	7.5
2	4	3	16	12
3	5	4	25	20
4	6	4.5	36	27
∑	18	14	86	66.5

Ⅱ．計算

.

x

=4.5，

.

y

=3.5，b=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4．52

=0.7，
a=3.5-0.7×4.5=0.35
Ⅲ．寫出回歸方程為y=0.7x+0.35；
（3）由回歸方程可知改革后生產(chǎn)100噸產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為：y=0.7×100+0.35=70.35
所以比改革前降低約90-70.35=19.65噸媒．

點評：本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關(guān)系的了解．