Question

設兩函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）與g（x）=log_bx（b＞0且b≠1）的圖象分別是C₁和C₂．
（1）當C₁與C₂關于x軸對稱時，求a•b的值；
（2）當x∈[2，+∞）時，總有|f（x）|＞1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）y=log_ax的圖象與y=log_bx的圖象關于x軸對稱，可得log_ax=-log_bx，即log_xa=-log_xb，即可得出結論；
（2）由在x∈[2，+∞）上總有|f（x）|＞1?|log_ax|＞1，要去掉絕對值，需要考慮a的范圍分類討論①若a＞1，x≥2時，log_ax＞0，即log_ax＞1恒成立，②若0＜a＜1，x≥2時log_ax＜0，．即log_ax＜-1恒成立，從而可求a的范圍

解答： 解：（1）∵y=log_ax的圖象與y=log_bx的圖象關于x軸對稱，
∴l(xiāng)og_ax=-log_bx，
∴l(xiāng)og_xa=-log_xb
∴a=

1

b

，
∴ab=1；
（2）：①若a＞1，x≥2時，log_ax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即log_ax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
②若0＜a＜1，x≥2時log_ax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即log_ax＜-1恒成立，也即x＞

1

a

恒成立，
∴

1

a

＜2．∴

1

2

＜a＜1，
綜上，a的取值范圍為（

1

2

，1）∪（1，2）．

點評：本題考查函數的圖象關于x軸對稱，考查對數的性質，考查了利用對數函數 的單調性解不等式，解題中要體會分類討論思想的應用，屬于中檔試題