Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），則滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． 28
• B． 34
• C． 36
• D． 100

Answer 1

分析 取x∈（2^m，2^m+1），則 $\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（ $\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{2}{{2}^{m}}$，從而f（x）=2^m+1-x，根據(jù)f（2020）=f（a）進(jìn)行化簡，設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范圍．

解答 解：取x∈（2^m，2^m+1），則$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；f（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，從而
f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=…=2^mf（$\frac{x}{{2}^{m}}$）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，
f（2020）=2¹⁰f（$\frac{2020}{1024}$）=2¹¹-2020=28=f（a），
設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28，
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1），
即m≥5，a≥36，
∴滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)a是36．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．