Question

12．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題為已知一元二次不等式的解集，求函數(shù)解析式．可由二次不等式的解法，先找到對(duì)應(yīng)的二次方程，則0，5為二次方程的兩個(gè)根，代入可得b，c，函數(shù)解析式可得；
（2）由題為恒成立問題，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題，即；2x²-10x+t-2≤0恒成立，再利用函數(shù)g（x）=2x²-10x+t-2，求它的最大值可得t的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理知，-$\frac{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，
∴b=-10，c=0，
∴f（x）=2x²-10x．
（2）f（x）+t≤2 恒成立等價(jià)于2x²-10x+t-2≤0恒成立，
∴2x²-10x+t-2的最大值小于或等于0．
設(shè)g（x）=2x²-10x+t-2≤0，
則由二次函數(shù)的圖象可知g（x）=2x²-10x+t-2在區(qū)間[-1，1]為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（-1）=10+t≤0，
∴t≤-10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次不等式和二次方程之間的關(guān)系，以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題