Question

3．已知拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P是l上一點(diǎn)，直線(xiàn)PF與拋物線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FA}$，則|AB|=（　　）

• A． 5
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{22}{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 先根據(jù)題意寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，再將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)y²=4x的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合拋物線(xiàn)的定義即可求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

解答 解：拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為l：x=-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d_A，d_B，
由拋物線(xiàn)的定義可知|AF|=d_A=x₁+1，|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2．
∵$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FA}$，
∴直線(xiàn)AB的斜率為±$\sqrt{3}$，
∵F（1，0），
∴直線(xiàn)PF的方程為y=±$\sqrt{3}$（x-1），
將y=±$\sqrt{3}$（x-1），代入方程y²=4x，得3（x-1）²=4x，化簡(jiǎn)得3x²-10x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=$\frac{10}{3}$+2=$\frac{16}{3}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．