Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）若直線AC與平面PCD所成的角為30°，求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE，根據(jù)中位線定理得出PB∥OE，從而PB∥平面EAC；
（2）由面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥AE，由等邊三角形的性質(zhì)得出AE⊥PD，于是AE⊥平面PCD；
（3）∠ACE為直線CD與平面PCD所成的角，根據(jù)AE的長計算CE，CD，于是V_D-AEC=V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AE$．

解答 證明：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O是BD的中點，又E是PD的中點，
∴PB∥OE，
∵PB?平面EAC，OE?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵三角形PAD是等邊三角形，E是PD的中點，
∴AE⊥PD，
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．
解：（3）∵AE⊥平面PCD，
∴∠ACE為直線CD與平面PCD所成的角，即∠ACE=30°．
∵側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，
∴AE=$\sqrt{3}$，DE=1．
∴AC=2AE=2$\sqrt{3}$，CE=3．
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_D-AEC=V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．