Question

20．已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x；將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后得g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）在[0，π]上的值域；
（2）在△ABC中，若$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$，a=4，求$\sqrt{3}$b-c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$cos2x，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，π]，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解g（x）在[0，π]上的值域．
（2）由已知及正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{a}{sinA}$，從而可求tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而可求A，b=8sinB，c=8sinC，由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得$\sqrt{3}$b-c=8sin（B-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[2（-$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos2x，
∴將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，可得g（x）=$\sqrt{3}$cos[2（x-$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，可得：g（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，即函數(shù)g（x）在[0，π]上的值域為：[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）∵$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$，a=4，又由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{a}{sinA}$，可得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而A=$\frac{π}{6}$，2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴b=8sinB，c=8sinC，C=$\frac{5π}{6}$-B，
∴$\sqrt{3}$b-c=8[$\sqrt{3}$sinB-sin（$\frac{5π}{6}$-B）]=8sin（B-$\frac{π}{6}$）≤8，
∴當B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{2π}{3}$時，$\sqrt{3}$b-c的最大值為8．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．