Question

14．已知函數(shù)f（x）=cosx+$\frac{a}{2}$x²-1（a∈R）．
（1）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）有唯一的零點(diǎn)；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f′（x）=-sinx+ax，則g′（x）=-cosx+a，當(dāng)a≥1時(shí)，可知g（x）在R上單調(diào)遞增，g（0）=0，即可判斷f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，0）上為減函數(shù)，由f（x）=0，即可證明，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）有唯一的零點(diǎn)；
（2）分類，當(dāng)a≤0時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性可知f（$\frac{π}{2}$）＜0，不滿足f（x）≥0；當(dāng)0＜a＜1，設(shè)h（x）=f′（x）=-sinx+ax，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可知存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀=a，且h（x）=-sinx+ax在[0，x₀）上為減函數(shù)，f（x）在[0，x₀）為減函數(shù)，故當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，不符合題意，由（1）可知：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥0，因此，若f（x）≥0，實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞）．

解答 解：（1）證明：因?yàn)閒′（x）=-sinx+ax（x∈R）．
令g（x）=-sinx+ax，則g′（x）=-cosx+a，
所以當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）=-cosx+a≥0，即g（x）在R上單調(diào)遞增，
又g（0）=-sin0=0，
所以x∈[0，+∞），f′（x）≥0，當(dāng)x∈（-∞，0），f′（x）＜0，
所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，0）上為減函數(shù)，
又f（0）=0，所以當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）≥0，
當(dāng)x∈（-∞，0），對(duì)x∈R恒成立，即當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥0，
且當(dāng)且僅當(dāng)x=0，f（x）=0，
故當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）有唯一的零點(diǎn)；
（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，
∵f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{a}{2}$•（$\frac{π}{2}$）²-1≤-1＜0，
所以當(dāng)a≤0，不符合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
因?yàn)閒′（x）=-sinx+ax，設(shè)h（x）=-sinx+ax，x∈（0，π），
h′（x）=-cosx+a，
因?yàn)閍∈（0，1），所以存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀=a，
因?yàn)閏osx在（0，π）上為單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[0，x₀），h′（x）＜0，
h（x）=-sinx+ax在[0，x₀）上為減函數(shù)，
即f′（x）=h（x）≤h（0）=0，
所以f（x）在[0，x₀）為減函數(shù)，故當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，
故當(dāng)0＜a＜1不符合題意，
③當(dāng)a≥1時(shí)，由（1）知，f（x）≥0，
綜上，若f（x）≥0，實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、三角函數(shù)等知識(shí)，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，難度較大，屬于難題．