Question

9．已知圓O：x²+y²=4與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P在直線l：$\sqrt{3}$x+y-a=0上，過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為T．
（1）若a=8，切點(diǎn)T（$\sqrt{3}$，-1），求直線AP的方程；
（2）若PA=2PT，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，直線PT切于點(diǎn)T，則OT⊥PT，求出直線PT的方程，聯(lián)立直線l和PT，得P（2$\sqrt{3}$，2），由此能求出直線AP的方程．
（2）設(shè)P（x，y），由PA=2PT，得滿足PA=2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$．問題可轉(zhuǎn)化為直線$\sqrt{3}x+y-a=0$與圓（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$有公共點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，直線PT切于點(diǎn)T，則OT⊥PT，
又切點(diǎn)T（$\sqrt{3}$，-1），∴k_OT=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_PT=-$\frac{1}{{k}_{OT}}$=$\sqrt{3}$，
∴直線PT的方程為y+1=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}x-y-4=0$，
聯(lián)立直線l和PT，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-4=0}\\{\sqrt{3}x+y-8=0}\end{array}\right.$，解得x=2$\sqrt{3}$，y=2，即P（2$\sqrt{3}$，2），
∴直線AP的斜率為k=$\frac{2-0}{2\sqrt{3}+2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴直線AP的方程為y=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}（x+2）$，即（$\sqrt{3}-1$）x-2y+2$\sqrt{3}$-2=0．
（2）設(shè)P（x，y），由PA=2PT，得（x+2）²+y²=4（x²+y²-4），即3x²+3y²+4x-20=0，
即滿足PA=2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$．
∴問題可轉(zhuǎn)化為直線$\sqrt{3}x+y-a=0$與圓（x-$\frac{2}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$有公共點(diǎn)，
∴d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{2}{3}-a|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$≤$\frac{8}{3}$，即|$\frac{2\sqrt{3}}{3}-a$|$≤\frac{16}{3}$，
解得$\frac{-16+2\sqrt{3}}{3}≤a≤\frac{16+2\sqrt{3}}{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{-16+2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{16+2\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、直線方程等知識(shí)的合理運(yùn)用．