Question

省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關(guān)系為f（x）=|g（x）-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中g(shù)（x）=

1 2 sin( π 4 x)，x∈[0，2] 1 x ，x∈(2，24]

，a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令t=g（x），求t的取值范圍；
（2）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性，即可得到t的范圍；
（2）當(dāng)a∈[0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，則g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值和最小值，作差即可得到M（a），當(dāng)且僅當(dāng)a≤

4

9

 時，M（a）≤2，即可判斷．

解答： 解　（1）當(dāng)0≤x≤2時，y=

1

2

sin

πx

4

∈[0，

1

2

]，
當(dāng)2＜x≤24時，y=

1

x

∈[

1

24

，

1

2

），
則當(dāng)0＜x≤24時，t的取值范圍是[0，

1

2

]；
（2）當(dāng)a∈[0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，
則g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

，
∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，

1

2

]上單調(diào)遞增，
且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，g（0）-g（

1

2

）=2 （a-

1

4

）．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0)， 1 4 ＜a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a≤

4

9

 時，M（a）≤2．
故當(dāng)0≤a≤

4

9

 時不超標(biāo)，當(dāng)

4

9

＜a≤

1

2

 時超標(biāo)．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．