【題目】已知空間9點(diǎn)集,其中任意四點(diǎn)不共面.在這9個(gè)點(diǎn)間聯(lián)結(jié)若干條線(xiàn)段,構(gòu)成一個(gè)圖G,使圖中不存在四面體.問(wèn)圖G中最多有多少個(gè)三角形?
【答案】27
【解析】
在一個(gè)n個(gè)點(diǎn)的空間圖中不存在三角形,則其邊數(shù)不超過(guò).
證明:設(shè)這n個(gè)點(diǎn)為,其中從引出的邊數(shù)最多,不妨設(shè)共有k條:.依條件,不存在三角形,那么,點(diǎn)之間沒(méi)有邊相連.從而,空間圖中每條邊均至少有一個(gè)端點(diǎn)為中的點(diǎn)而每個(gè)至多引出k條邊.因此,總邊數(shù)小于或等于k
下面證明空間9點(diǎn)集M中,若任意4點(diǎn)不共面,在這9點(diǎn)間聯(lián)結(jié)若干條線(xiàn)段,如果圖G中已有(至少)28個(gè)三角形,則至少有一個(gè)四面體.
用反證法.
假設(shè)不存在一個(gè)四面體,在9點(diǎn)集中,由抽屜原理知,其中必有一點(diǎn)為至少個(gè)三角形的頂點(diǎn).從而,由這個(gè)點(diǎn)至少引出5條邊,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為
(1).若從點(diǎn)引出5條邊,依題意,由于沒(méi)有四面體,那么,由這5個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的子圖中沒(méi)有三角形.由前面的結(jié)論知,這個(gè)子圖中至多有條邊.從而.以為頂點(diǎn)的三角形至多有6個(gè),矛盾.
(2)若從點(diǎn)引出6條邊,類(lèi)似(1),至多有個(gè)三角形以為頂點(diǎn),矛盾.
(3)若從點(diǎn)引出7條邊,由于沒(méi)有四面體,可知這7個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的子圖中沒(méi)有三角形,這個(gè)子圖至多有條邊.從而,以為頂點(diǎn)的三角形至多有12個(gè),不以為頂點(diǎn)的三角形必以點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn).類(lèi)似地也至多有12個(gè)三角形,那么,三角形總數(shù)小于或等于12×2-24<28,矛盾.
(4)若從點(diǎn)引出8條邊,這時(shí),,A這8個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的子圖中沒(méi)有三角形.由前面的結(jié)論知,至多有條邊.從而,原圖G中至多有16個(gè)三角形,矛盾.
于是,滿(mǎn)足要求的三角形至多有27個(gè).
將9點(diǎn)集M分成三組,,,使同組中任兩點(diǎn)不連線(xiàn),而不同組中的兩點(diǎn)均連線(xiàn),這樣有個(gè)三角形,當(dāng)然沒(méi)有四面體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為了了解某日旅游鞋的銷(xiāo)售情況,抽取了部分顧客所購(gòu)鞋的尺寸,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示.已知從左到右前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3,第4小組與第5小組的頻率分布如圖所示,第2小組的頻數(shù)為10,則第4小組顧客的人數(shù)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為的盒子中,且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù),則共有多少種放法( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)、7環(huán)的概率分別是0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:
(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率; (2)不夠7環(huán)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、,使得曲線(xiàn)在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn), 而是邊上的任意內(nèi)點(diǎn).設(shè)和的內(nèi)切圓圓心分別是和.
(1)求證:∠I1DI2 =90°(即、、、四點(diǎn)共圓);
(2)設(shè)、、、四點(diǎn)所在的圓周的半徑為, 而的內(nèi)切圓半徑為,試求的取值范圍(取遍各種形狀的三角形,點(diǎn)取遍邊上的每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在其定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在實(shí)數(shù).滿(mǎn)足,則稱(chēng)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,是它的一個(gè)均值點(diǎn).
(1)判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,并說(shuō)明理由
(2)若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,1是函數(shù)的一個(gè)均值點(diǎn),求所有滿(mǎn)足條件實(shí)數(shù)對(duì).
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【題目】《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事:“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬”.若雙方各自擁有上、中、下等馬各1匹,從中隨機(jī)選1匹進(jìn)行1場(chǎng)比賽,則齊王的馬獲勝的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)圖像上.
(1)求、、,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想;
(3)若數(shù)列滿(mǎn)足:,,且對(duì)任意的,都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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