Question

14．已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，求證：$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$≥$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 可設(shè)AD=x，BD=y，CD=z，且∠ADB=30°，∠BDC=90°，運(yùn)用余弦定理可得AB，BC，AC，再由三角形的性質(zhì)：兩邊之和不小于第三邊，即可得證．

解答 證明：可設(shè)AD=x，BD=y，CD=z，
且∠ADB=30°，∠BDC=90°，
即有AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos30°
=x²+y²-2xy•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=x²+y²-$\sqrt{3}$xy，
BC²=BD²+CD²，即BC²=y²+z²，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos120°
=x²+z²-2xz•（-$\frac{1}{2}$）=x²+z²+xz，
由三角形的性質(zhì)，可得AB+BC≥AC，
可得$\sqrt{{x}^{2}-\sqrt{3}xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}$≥$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造法，結(jié)合余弦定理，運(yùn)用三角形的性質(zhì)：兩邊之和不小于第三邊，考查推理能力，屬于中檔題．