Question

11．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{2}$，1），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）若A是橢圓E的上頂點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是左、右焦點，直線AF₁，AF₂分別交橢圓于B，C，直線BO交AC于D，求證：S_△ABD：S_△ABC=3：5；
（2）若A₁，A₂分別是橢圓E的左、右頂點，動點M滿足MA₂⊥A₁A₂，且MA₁交橢圓E于點P，求證：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及a²=b²+c²，求得a²=2b²，將（$\sqrt{2}$，1），代入$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程，由直線AB和AC的方程，代入橢圓方程求得B和C坐標，根據(jù)點到直線的距離公式，求得點A，C到直線BO的距離之比為3：2，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得S_△ABD：S_△ABC=3：5；
（2）由題意可知：設(shè)M（2，y₀），P（x₁，y₁），直線MA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入橢圓方程，求得P坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）（2，y₀），整理可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=4．

解答 解：（1）證明：由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
由a²=b²+c²，則a²=2b²，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將（$\sqrt{2}$，1），代入解得：b²=2，a²=4，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
A（0，$\sqrt{2}$），F(xiàn)₁（-$\sqrt{2}$，0）F₂（$\sqrt{2}$，0），
直線AB得斜率k=$\frac{\sqrt{2}-0}{0-（-\sqrt{2}）}$=1，
直線AB的方程為：y=x+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程得，整理得：3x²+4$\sqrt{2}$x=0，
即B（-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．
同理得C（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
直線BO為y=$\frac{1}{4}$x，
∴A到直線BO的距離為d₁=$\frac{丨4\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
C到直線BO的距離為d₂=$\frac{丨4×（-\frac{\sqrt{2}}{3}）-\frac{4\sqrt{3}}{3}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}$，
點A，C到直線BO的距離之比為3：2，
∴S_△ABD：S_△ABC=3：5，．
（2）證明：設(shè)M（2，y₀），P（x₁，y₁），直線MA₁的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，整理得（1+$\frac{{y}_{0}^{2}}{8}$）x²+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$x+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$-4=0，
由-2x₁=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，x₁=$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，
從而y₁=$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）（2，y₀）=$\frac{-4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$+$\frac{{8y}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}+8}$=4，
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$為定值4．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，點到直線的位置關(guān)系，三角形面積公式，向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．