Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x}$在x=1處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，若不等式f（x）≤x²-x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)f′（x）=a$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，從而可得$\frac{0-（-1）}{1-0}$=a，從而解得a=1，再代入求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）可知f_max（x）=f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，x²-x+m≥m-$\frac{1}{4}$，從而可得m-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{e}$，從而解得．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{alnx}{x}$，∴f′（x）=a$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=0，f′（1）=a，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x}$在x=1處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），
∴$\frac{0-（-1）}{1-0}$=a，
故a=1，
故f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
故當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）∵f（x）≤x²-x+m對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
由（I）知，f_max（x）=f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
x²-x+m≥m-$\frac{1}{4}$，
故m-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{e}$，
故m≥$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的應(yīng)用．