Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-3|．
（Ⅰ）若不等式f（x）-f（x+5）≥|m-1|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，證明：$\frac{{f（{ab}）}}{|a|}$＞f（${\frac{a}}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的意義得到|m-1|≤5，求出m的范圍即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明（ab-3）²＞（b-3a）²，通過作差證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）-f（x+5）=|x-3|-|x+2|≤|（x-3）-（x+2）|=5，
當(dāng)且僅當(dāng)x≤-2時(shí)等號(hào)成立，
所以|m-1|≤5，解得-4≤m≤6；…（5分）
（Ⅱ）證明：要證$\frac{{f（{ab}）}}{|a|}＞f（{\frac{a}}）$，
即證$\frac{|ab-3|}{|a|}＞|{\frac{a}-3}|$，
只需證|ab-3|＞|b-3a|，
即證（ab-3）²＞（b-3a）²，
又（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9），|a|＜1，|b|＜3，
所以（a²-1）（b²-9）＞0，
所以（ab-3）²＞（b-3a）²，
故原不等式成立…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．