【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,,軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足,.

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線為曲線正半軸的交點(diǎn),、為曲線上與不重合的兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為,求證直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

【答案】(1);(2)直線過定點(diǎn)

【解析】

(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),分點(diǎn)P在線段上和線段的延長線上兩種情況討論,根據(jù)題意得到線段AB的長,列式化簡求得點(diǎn)P的軌跡方程;

2)先明確直線MN的斜率不存在時(shí)對(duì)應(yīng)的情況,再求其斜率存在的時(shí)候,設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用題中的條件,建立等量關(guān)系式,求得其過的定點(diǎn).

(1)設(shè)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),

根據(jù),,有,此時(shí),

所以有,即;

當(dāng)點(diǎn)P在線段外時(shí),根據(jù),,

只能點(diǎn)P在線段BA是延長線上,并且點(diǎn)A是線段BP的中點(diǎn),

設(shè),則有,且有

所以有

所以點(diǎn)P的軌跡方程為;

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)

,

,不合題意.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),,

聯(lián)立方程

,

,代入上式得

∴直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,,軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足.

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線,為曲線正半軸的交點(diǎn),、為曲線上與不重合的兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為,試探究面積的最大值.

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(1)求證:平面平面;

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(1)求h與θ之間的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過t s達(dá)到OB,求h與t之間的函數(shù)解析式,并計(jì)算經(jīng)過45 s后纜車距離地面的高度.

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3)若EFGH為圓的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),求四邊形EGFH的面積的最大值

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1)求的值

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(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線方程;

(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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