【題目】在平面直角坐標系中，，為，軸上兩個動點，點在直線上，且滿足，.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點，、為曲線上與不重合的兩點，且直線與直線的斜率之積為，試探究面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）通過引入?yún)?shù)，分別表示點的橫縱坐標，得到其參數(shù)方程，再消去參數(shù)得到其軌跡方程.

（2）按照直線斜率是否存在分兩種情況進行討論，對于斜率存在的情況，通過設出方程，代入曲線消去得到關于的一元二次方程，利用韋達定理，結合題目條件求出m的值，從而求出關于的表達式，再利用基本不等式即可求出最大值.

（1）設，，則，

故點的軌跡方程為

（2）①當直線的斜率不存在時，

設

則，

∴，不合題意.

②當直線的斜率存在時，設

，

聯(lián)立方程得

則 ，

又

即

將，代入上式得

∴直線過定點，所以直線MN： ，即，

則三角形GMN的底MN上的高為，

∴

令即

∴

當且僅當時取等號

故

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓過點A(2，1)，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且，求直線l的方程．

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【題目】某地區(qū)積極發(fā)展電商，通過近些年工作的開展在新農村建設和扶貧過程中起到了非常重要的作用，促進了農民生活富裕，為了更好地了解本地區(qū)某一特色產品的宣傳費 (千元)對銷量 (千件)的影響，統(tǒng)計了近六年的數(shù)據(jù)如下：

（1）若近6年的宣傳費與銷量呈線性分布，由前5年數(shù)據(jù)求線性回歸直線方程，并寫出的預測值；

（2）若利潤與宣傳費的比值不低于20的年份稱為“吉祥年”，在這6個年份中任意選2個年份，求這2個年份均為“吉祥年”的概率

附：回歸方程的斜率與截距的最小二乘法估計分別為，

，其中， 為， 的平均數(shù).

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【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，垂直于底面，.

（1）求證；　

（2）求平面與平面所成二面角的大小；

（3）設棱的中點為，求異面直線與所成角的大小.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，，分別為的內心、重心，當軸時，橢圓的離心率為( )

A. B. C. D.

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【題目】設函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）求函數(shù)的極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，，為，軸上兩個動點，點在直線上，且滿足，.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點，、為曲線上與不重合的兩點，且直線與直線的斜率之積為，求證直線經過一個定點，并求出該定點坐標。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)為偶函數(shù).

（1） 求的值；

（2）若的最小值為，求的最大值及此時的取值；

（3）在（2）的條件下，設函數(shù)，其中.已知在處取得最小值并且點是其圖象的一個對稱中心，試求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù)圖象的一個對稱中心可能為（ ）

A. B. C. D.

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