Question

19．已知P為銳角三角形ABCD的AB邊上一點，A=60°，AC=4，則|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$|的最小值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 6
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的夾角運算和向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$+3（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$）=4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴（4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$）²=16|$\overrightarrow{PA}$|²+9|$\overrightarrow{AC}$|²+24|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{AC}$|cos120°
=16|$\overrightarrow{PA}$|²-48|$\overrightarrow{PA}$|+144
=16（|$\overrightarrow{PA}$|-$\frac{3}{2}$）²+108
當|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{3}{2}$時，（4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$）²的最小值為108，
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$|的最小值為6$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考察了平面向量及應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，考察了解三角形的應用，屬于中檔題．