Question

7．已知奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=f（x-2），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=3^x，則f（log₃54）=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足條件f（x+2）=f（x-2），求出函數(shù)的周期，再運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性把要求的值轉(zhuǎn)化為區(qū)間（0，1）的函數(shù)值．

解答 解：因?yàn)閒（x+2）=f（x-2），取x=x+2，得：
f（x+2+2）=f（x+2-2），
所以f（x+4）=f（x），
所以函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，
所以f（log₃54）=f（3+log₃2）=f（-1+log₃2），
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（-1+log₃2）=-f（1-log₃2），
又x∈（0，1）時(shí)，f（x）=3^x，
所以f（1-log₃2）=${3}^{1{-log}_{3}2}$=3×${3}^{{{log}_{3}2}^{-1}}$=3×2^-1=$\frac{3}{2}$，
所以f（log₃54）=-$\frac{3}{2}$．
故答案為：-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性與奇偶性，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是如何把求f（log₃54）的值轉(zhuǎn)化為求（0，1）內(nèi)的函數(shù)值，是綜合性題目．