Question

20．設數(shù)列數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n+$\frac{1}{4}$，且b₁=$\frac{7}{2}$，T_n為{b_n}的前n項和．
（1）求證：數(shù)列{b_n-$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）如果對任意n∈N^*，不等式$\frac{2{T}_{n}+3•{2}^{2-n}-10}{k}$≤n²+4n+5若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n+$\frac{1}{4}$，兩邊同時減$\frac{1}{2}$，運用等比數(shù)列的定義和通項公式，計算即可得到所求；
（2）運用等比數(shù)列的求和公式，可得T_n，原不等式即為$\frac{1}{k}$≤$\frac{{n}^{2}+4n+5}{n+2}$=（n+2）+$\frac{1}{n+2}$，運用對勾函數(shù)的單調(diào)性可得最小值，進而得到k的范圍．

解答 解：（1）證明：由b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n+$\frac{1}{4}$，可得
b_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$b_n+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$，即為b_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（b_n-$\frac{1}{2}$），
由等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{b_n-$\frac{1}{2}$}是首項為$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}$=3，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
可得b_n-$\frac{1}{2}$=3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即為b_n=$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）T_n=$\frac{n}{2}$+3•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n}{2}$+6（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
不等式$\frac{2{T}_{n}+3•{2}^{2-n}-10}{k}$≤n²+4n+5，即為$\frac{n+2}{k}$≤n²+4n+5，
即有$\frac{1}{k}$≤$\frac{{n}^{2}+4n+5}{n+2}$=（n+2）+$\frac{1}{n+2}$，
由（n+2）+$\frac{1}{n+2}$在n∈N^*遞增，可得n=1時，取得最小值$\frac{10}{3}$．
即有$\frac{1}{k}$≤$\frac{10}{3}$，解得k＜0或k≥$\frac{3}{10}$．
則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{3}{10}$，+∞）．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，同時考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．