Question

17．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共的焦點(diǎn)，C₂的一條漸近線與以C₁的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A、B兩點(diǎn)，若C₁恰好將線段AB三等分，則橢圓C₁的方程是（　�。�

• A． $\frac{2{x}^{2}}{11}$+2y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1

Answer 1

分析 雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)（±$\sqrt{5}$，0），可得a²-b²=5．取C₂的一條漸近線y=2x，與橢圓相交于點(diǎn)M，N．與橢圓方程聯(lián)立解得：${x}_{M}^{2}$，${y}_{M}^{2}$，可得|MN|²=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）．再利用以C₁的長(zhǎng)軸（2a）為直徑的圓相交于A、B兩點(diǎn)，若C₁恰好將線段AB三等分，即可得出．

解答 解：雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)（±$\sqrt{5}$，0），
∴a²-b²=5．
取C₂的一條漸近線y=2x，與橢圓相交于點(diǎn)M，N．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得${x}_{M}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$，${y}_{M}^{2}$=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$，
∴|MN|²=4（${x}_{M}^{2}$+${y}_{M}^{2}$）=$\frac{20{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$，
∵以C₁的長(zhǎng)軸（2a）為直徑的圓相交于A、B兩點(diǎn)，若C₁恰好將線段AB三等分，
∴$\frac{20{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$=$\frac{1}{9}$×（2a）²，與a²-b²=5聯(lián)立．
解得b²=5，a²=10．
∴橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．