Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$-alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=x²+f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分類討論，求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）=x²+f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值，求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，…（1分）
又f（1）=2，f′（1）=-1，…（2分）
∴曲線曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-2=-（x-1），
即x+y-3=0．．…．…（4分）
（Ⅱ）由題意，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又 f′（x）=-$\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，…（5分）
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；  …（7分）
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
由f′（x）＜0得，0＜x＜-$\frac{2}{a}$；由f′（x）＞0得，x＞-$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增． …（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=x²+f（x），
∴g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴g′（x）=$\frac{2{x}^{3}-ax-2}{{x}^{2}}$．  …（10分）
令h（x）=2x³-ax-2，x∈（0，+∞）．
∴h′（x）=6x²-a．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，
∵h(yuǎn)′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=-2＜0，h（1）=-a＞0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，也是g′（x）的零點(diǎn)．
∴g（x）在（0，1）內(nèi)有極值；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（0，1）內(nèi)無極值．
綜上所述，若g（x）在（0，1）內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析及問題的能力，屬于中檔題．