Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{Sn}{n}$），n∈N^*均在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的{a_n}通項公式；
（2）若{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₁b₂b₃=27，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）依題意得$\frac{S_n}{n}=n+1$，即${S_n}={n^2}+n$．當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，可得${b_1}{b_2}{b_3}=b_2^3=27$，解得b₂，又b₁=1，可得q=3，可得${a_n}+{b_n}=2n+{3^{n-1}}$．
再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）依題意得$\frac{S_n}{n}=n+1$，即${S_n}={n^2}+n$．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1+1=2，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n²-n）=2n，∵a₁=2滿足上式，
∴a_n=2n（n∈N*）．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∴${b_1}{b_2}{b_3}=b_2^3=27$，解得b₂=3，又b₁=1，∴$q=\frac{b_2}{b_1}=3$，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={3^{n-1}}$，∴${a_n}+{b_n}=2n+{3^{n-1}}$．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n=2×（1+2+…+n）+（1+3+3²+…+3^n-1）
=$2×\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$
=n²+n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．