Question

17．已知點M（-1，0），N（1，0），曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的$\sqrt{3}$倍．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知m≠0，設(shè)直線l：x-my-1=0交曲線E于A，C兩點，直線l₂：mx+y-m=0交曲線E于B，D兩點，C，D兩點均在x軸下方，當(dāng)CD的斜率為-1時，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點坐標(biāo)，由題目條件進(jìn)行計算即可；
（2）由直線EP：y=x-2，設(shè)直線CD：y=-x+t，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，解得t的值．又C，D兩點均在x軸下方，直線CD：y=-x，解得C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可以解得m的值．

解答 解：（1）設(shè)曲線E上任意一點坐標(biāo)為（x，y），
由題意，$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{3}\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，-----（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3為所求．-----（4分）
（2）由題知l₁⊥l₂，且兩條直線均恒過點N（1，0），
設(shè)曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點為P，
則直線EP：y=x-2，設(shè)直線CD：y=-x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+t\end{array}\right.$，解得點$P（\frac{t+2}{2}，\frac{t-2}{2}）$，-----（6分）
由圓的幾何性質(zhì)，$|NP|=\frac{1}{2}|CD|=\sqrt{|ED{|^2}-|EP{|^2}}$，
而$|NP{|^2}={（\frac{t+2}{2}-1）^2}+{（\frac{t-2}{2}）^2}$，|ED|²=3，$|EP{|^2}={（\frac{|2-t|}{{\sqrt{2}}}）^2}$，解之得t=0或t=3，
又C，D兩點均在x軸下方，直線CD：y=-x．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+1=0\\ y=-x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1.\end{array}\right.$
不失一般性，設(shè)$C（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1），D（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）$，--（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+1=0\\ y=u（x-1）\end{array}\right.$消y得：（u²+1）x²-2（u²+2）x+u²+1=0，（1）
方程（1）的兩根之積為1，所以點A的橫坐標(biāo)${x_A}=2+\sqrt{2}$，
又因為點$C（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1）$在直線l₁：x-my-1=0上，解得$m=\sqrt{2}+1$，
直線${l_1}：y=（\sqrt{2}-1）（x-1）$，所以$A（2+\sqrt{2}，1）$，--（11分）
同理可得，$B（2-\sqrt{2}，1）$，所以線段AB的長為$2\sqrt{2}$．--（12分）

點評 本題考查求解軌跡方程的一般方法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．