Question

將正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列，把第一行數(shù)1，2，5，10，17， 記為數(shù)列，第一

數(shù)列1，4，9，16，25， 記為數(shù)列

（1）寫(xiě)出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）證明略；（3）證明略.

【解析】

試題分析：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值是多少；（2)由時(shí)等式成立，推出時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化（差異），明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書(shū)寫(xiě)；（3）觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的.

試題解析：【解析】
（1）由，得：， 3分

． 4分

① 當(dāng)時(shí)，，∴，又，∴時(shí)等式成立； 5分

② 假設(shè)時(shí)等式成立，即，

則時(shí)，

，

∴時(shí)等式也成立． 8分

根據(jù)①②，都成立． 9分

（3）當(dāng)時(shí)，，∴． 11分

又

．

綜上可知：成立． 14分

考點(diǎn)：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題；（3）裂項(xiàng)法求數(shù)列的和.