Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意非零實數(shù)a，b滿足f（ab）=f（a）+f（b）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷并證明y=f（x）的奇偶性；
（3）若函數(shù)f（x）滿足對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，求不等式f（2x-1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）令a=b=1計算f（1），令a=b=-1計算f（-1）；
（2）令a=x，b=-1得出f（-x）=f（x），故f（x）為偶函數(shù)；
（3）f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（-1）=f（1）=0，故不等式等價于-1＜2x-1＜1且2x-1≠0．

解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
∴a=b=-1得f（1）=2f（-1）=0，∴f（-1）=0．
（2）令a=x，b=-1得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）∵對任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（1）=f（-1）=0，f（2x-1）＜0，
∴-1＜2x-1＜1且2x-1≠0，
解得0＜x＜1，且x≠$\frac{1}{2}$．
∴不等式f（2x-1）＜0的解集為{x|0＜x＜1且x$≠\frac{1}{2}$}．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．