Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

9

=1（a＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點，點I為△PF₁F₂的內(nèi)心，有關下列命題：
①若S△PF1F2=3

3

，則∠F₁PF₂=

2π

3

；
②若離心率為

5

4

，且|S △IPF1-S △IPF2|=λS △IF1F2，則λ=

4

5

③若離心率為

5

4

，則點I的橫坐標x₁滿足：|x₁|=4
④若點I的橫坐標x₁滿足：|x₁|=3，則雙曲線的半焦距c=3

2

，
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運用雙曲線的定義和余弦定理、面積公式，結合二倍角公式即可判斷①；
運用雙曲線的定義和三角形的面積公式，計算即可判斷②；
運用離心率公式和a，b，c的關系，求得a=4，再由圓的切線性質(zhì)，計算即可判斷③；
由③的結論，結合a，b，c的關系，即可判斷④．

解答： 解：對于①，不妨設點P在雙曲線的右支上，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n則有m-n=2a，
由于∠F₁PF₂=θ，由余弦定理得m²+n²-2mncosθ=4c²，
∵S△PF1F2=3

3

，∴

1

2

mnsinθ=3

3

，
∵c²-a²=9，則可得，

1-cosθ

sinθ

=

3

，由二倍角公式可得tan

θ

2

=

3

，
則

θ

2

=

π

3

，即∠F₁PF₂=

2π

3

，則①對；
對于②，設△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_△IPF1 =

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△I F₁F₂=

1

2

•2c•r=cr，
由題意得

1

2

|PF₁|•r=

1

2

|PF₂|•r+λcr，故 λ=

|PF1|-|PF2|

2c

=

a

c

=

1

e

=

4

5

，
則②對；
對于③，若離心率為

5

4

，則c=

5

4

a，由c²-a²=9，解得a=4，
設邊PF₁、PF₂、F₁F₂上的切點分別為M、N、D，易見I、D橫坐標相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2a，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2a，得|MF₁|-|NF₂|=2，即|F₁D|-|F₂D|=2a，
記I的橫坐標為x₁，則D（x₁，0），于是：x₁+c-（c-x₁）=2a，
得x₁=4，則③對；
對于④，由③可得a=3，又b=3，則c=3

2

．則④對．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查雙曲線的定義和方程及性質(zhì)，考查三角形的余弦定理和面積公式，考查圓的切線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．