Question

20．在極坐標(biāo)系中，圓A與圓C：ρ=2cosθ+4sinθ關(guān)于直線θ=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱．
（1）求圓A的極坐標(biāo)方程；
（2）為圓A上任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$（其中O為極點(diǎn)）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C：ρ=2cosθ+4sinθ，即ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐標(biāo)方程．直線l：θ=$\frac{3π}{4}$，即y=-x，則（1，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（-2，-1）．即可得出圓A的方程，展開把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)$P（{-2+\sqrt{5}cosθ，-1+\sqrt{5}sinθ}）$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$=-4+5$cos（θ-\frac{π}{4}）$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）圓C：ρ=2cosθ+4sinθ，即ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
可得直角坐標(biāo)方程：圓C：x²+y²=2x+4y，即（x-1）²+（y-2）²=5，
直線l：θ=$\frac{3π}{4}$，即y=-x，
則（1，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（-2，-1）．
∴圓A：（x+2）²+（y+1）²=5，展開把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得極坐標(biāo)方程ρ+4cosθ+2sinθ=0．
（2）設(shè)$P（{-2+\sqrt{5}cosθ，-1+\sqrt{5}sinθ}）$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OC}$=$-2+\sqrt{5}cosθ$+2$（-1+\sqrt{sinθ}）$=-4+5$cos（θ-\frac{π}{4}）$∈[-9，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、圓的方程、三角函數(shù)求值、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．