Question

10．已知f（x）=mx³+nx²+t的圖象經(jīng)過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知列關(guān)于m，n，t的方程組求解方程組得m，n，t的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得x的范圍得y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=3mx²+2nx，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=t=1}\\{f′（1）=3m+2n=1}\\{f（1）=m+n+t=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-7}\\{t=1}\end{array}\right.$．
∴f（x）=5x³-7x²+1；
（2）f′（x）=15x²-14x，
由f′（x）＞0，得x＜0或x$＞\frac{14}{15}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{14}{15}$．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（$\frac{14}{15}，+∞$）；減區(qū)間為（0，$\frac{14}{15}$）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．