Question

11．設(shè)P是圓O：x²+y²=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|．
（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_P，y_P），由已知得x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，由此能求出C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-2），與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯(lián)立可得x²-2x-6=0，即可求出過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_P，y_P），
∵P是圓x²+y²=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=$\frac{3}{4}$|PD|，
∴x_P=x，y_P=$\frac{4}{3}$y，
∵P在圓上，∴x²+$\frac{16}{9}$y²=16，即C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
  （2）過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線方程為y=$\frac{3}{4}$（x-2），與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯(lián)立可得x²-2x-6=0
∴過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長(zhǎng)度=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}•\sqrt{4+24}$=$\frac{5\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為$\frac{3}{4}$的直線被C所截線段的長(zhǎng)度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和根的判別式的合理運(yùn)用．