Question

19．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用兩角和余差和二倍角基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）x在$[{0，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意：函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R；
化簡(jiǎn)可得：$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$
=$4sinx（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx}）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x-1$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）-1$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
可得$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，是單調(diào)遞減，
解得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
（Ⅱ）因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
故得$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
于是 $-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
所以-2≤f（x）≤1．
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí) f（x）取最小值$f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{2}）=-2$；
當(dāng)且僅當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時(shí)最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=1$．
故得函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值是1，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．