Question

4．定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．則下列結(jié)論成立的是①②（填序號）
①f（0）=1；             
②對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
③f（x）是R上的減函數(shù)；
④若f（x）•f（2x-x²）＞1，則x的取值范圍是[0，3]．

Answer 1

分析 ①令a=1，b=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當x＞0時，f（x）＞1．得出f（0）=1，
②分類證明：（i）當x＞0時，f（x）＞1＞0成立；（ii）當x=0時，f（x）=f（0）=1＞0成立；（iii）當x＜0時，令a=x，b=-x，即可證明，
③任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂），確定出f（x₁）＞f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
④根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)，即可得到3x-x²＞0，解得即可．

解答 解：①：令a=1，b=0，則有：f（1+0）=f（1）•f（0）⇒f（1）=f（1）•f（0）⇒f（1）（1-f（0））=0，
∵當x＞0時，f（x）＞1＞0，
∴1-f（0）=0，
∴f（0）=1
②：（i）當x＞0時，f（x）＞1＞0成立；
（ii）當x=0時，f（x）=f（0）=1＞0成立；
（iii）當x＜0時，令a=x，b=-x，則有：f（x+（-x））=f（x）•f（-x）⇒f（0）=f（x）•f（-x）⇒f（x）•f（-x）=1＞0，
∵x＜0，
∴-x＞0，
∴f（-x）＞1＞0，
故f（x）＞0成立．
綜上可得：x∈R時，恒有f（x）＞0．
③：f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：
設任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
由②得：x∈R時，恒有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞0
又x₁＞x₂，∴x₁-x₂＞0，
由當x＞0時，f（x）＞1恒成立得：f（x₁-x₂）＞1⇒f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在R上是增函數(shù)．
④：∵f（x）•f（2x-x²）＞1，
∴f（3x-x²）＞f（0），
∴3x-x²＞0，
解得0＜x＜3，
故①②正確，
故答案為：①②

點評 本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應用，考查轉(zhuǎn)化．牢牢把握所給的關(guān)系式，對式子中的字母準確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問題常用的思路