Question

12．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{x}-2$
（1）求證：f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）求證：f（x）在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用定義法判斷即可．
（2）利用特特值證明即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（-\frac{1}{x_1}-2）-（-\frac{1}{x_2}-2）=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
∵x₁，x₂∈（-∞，0），∴x₁x₂＞0；
又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
所以：$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．
2）由題意：f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
在定義域上取x₁=-1，x₂=1，則f（x₁）=-1，f（x₂）=-3
此時有：x₁＜x₂，但f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)．

點評 本題考查了用定義法判斷單調(diào)性，同時考查了由特殊到一般的思想，采取特殊性證明其不成立即可．屬于基礎(chǔ)題．