Question

7．已知函數(shù)f（x）=5+lnx，g（x）=$\frac{kx}{x+1}$（k∈R）．
（ I）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，求k的值；
（ II）若k∈N^*，且x∈（1，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x），求k的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（$\sqrt{2}$+1）=0.8814）

Answer 1

分析 （I）由f（1）=5，且${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$，f′（1）=1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x+4，設(shè)直線y=x+4與g（x）=$\frac{kx}{x+1}$，（k∈R）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），得g′（x₀）=1，g（x₀）+4，由此利用導(dǎo)當(dāng)數(shù)性質(zhì)能求出k的值．
（ II）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，5+lnx＞$\frac{kx}{1+x}$恒成立，等價(jià)于當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，k＜$\frac{（x+1）（5+lnx）}{x}$恒成立，設(shè)h（x）=$\frac{（x+1）（5+lnx）}{x}$，（x＞1），則${h}^{'}（x）=\frac{x-4-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞1），記p（x）=x-4-lnx，（x＞1），則p′（x）=$\frac{x-1}{x}＞0$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的最大值．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=5+lnx，∴f（1）=5，且${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$，從而得到f′（1）=1．
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-5=x-1，即y=x+4．…（2分）
設(shè)直線y=x+4與g（x）=$\frac{kx}{x+1}$，（k∈R）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
從而可得g′（x₀）=1，g（x₀）+4，又${g}^{'}（x）=\frac{k}{（x+1）^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{'}（{x}_{0}）=\frac{k}{（{x}_{0}+1）^{2}}=1}\\{\frac{k{x}_{0}}{{x}_{0}+1}={x}_{0}+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{k=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2}\\{k=1}\end{array}\right.$．
∴k的值為1或9．…（5分）
（II）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，5+lnx＞$\frac{kx}{1+x}$恒成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，k＜$\frac{（x+1）（5+lnx）}{x}$恒成立．…（6分）
設(shè)h（x）=$\frac{（x+1）（5+lnx）}{x}$，（x＞1），則${h}^{'}（x）=\frac{x-4-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞1）
記p（x）=x-4-lnx，（x＞1），則p′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}＞0$，
∴p（x）在x∈（1，+∞）遞增．
又p（5）=1-ln5＜0，p（6）=2-ln6＞0，…（8分）
∴p（x）在x∈（1，+∞）存在唯一的實(shí)數(shù)根m∈（5，6），使得p（m）=m-4-lnm=0，①
∴當(dāng)x∈（1，m）時(shí)，p（x）＜0，即h′（x）＜0，則h（x）在x∈（1，m）遞減；
當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，p（x）＞0，即h′（x）＞0，則h（x）在x∈（m，+∞）遞增；
所以x∈（1，+∞）時(shí)，h_min=h（m）=$\frac{（m+1）（5+lnm）}{m}$，
由①可得lnm=m-4，∴h（m）=$\frac{（m+1）（m+1）}{m}=m+\frac{1}{m}+2$，…（10分）
而m∈（5，6），m+$\frac{1}{m}+2∈$（$\frac{36}{5}，\frac{49}{6}$），又h（3+2$\sqrt{2}$）=8，
p（3+2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-1-ln（3+2$\sqrt{2}$）＞0，∴m∈（5，3+2$\sqrt{2}$），∴h（m）∈（$\frac{36}{5}$，8）．
又k∈N^*，∴k的最大值是7．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．