【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上的橢圓,離心率
,且橢圓過(guò)點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)
的直線(xiàn)
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
,則
的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(1)
;(2)
,
.
【解析】試題分析:(1)本問(wèn)主要考查待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,首先設(shè)橢圓方程為,然后根據(jù)條件列方程組
,求解后即得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)本問(wèn)主要考查直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題,分析可知,內(nèi)切圓面積最大時(shí)即為內(nèi)切圓半徑
最大,
的面積可以表示為
,由橢圓定義可知
的周長(zhǎng)為定值
,這樣
的面積轉(zhuǎn)化為
,然后再根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,
的面積表示為
,這樣可以聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程,消去未知數(shù)
,得到關(guān)于
的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理,表示出
,最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的函數(shù),即可求出最值.
試題解析:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓方程為.
則,
解得: 橢圓方程為
,
(Ⅱ)設(shè),不妨
,設(shè)
的內(nèi)切圓的半徑
,
則的周長(zhǎng)為
因此
最大,
就最大,
由題知,直線(xiàn) 的斜率不為零,可設(shè)直線(xiàn)
的方程為
,
由得
,
得 .
則,
令,可知
,則
,
令,則
,當(dāng)
時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,有
,
即當(dāng)時(shí),
,這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為
.
故直線(xiàn)內(nèi)切圓面積的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次猜獎(jiǎng)游戲中,1,2,3,4四扇門(mén)里擺放了,
,
,
四件獎(jiǎng)品(每扇門(mén)里僅放一件).甲同學(xué)說(shuō):1號(hào)門(mén)里是
,3號(hào)門(mén)里是
;乙同學(xué)說(shuō):2號(hào)門(mén)里是
,3號(hào)門(mén)里是
;丙同學(xué)說(shuō):4號(hào)門(mén)里是
,2號(hào)門(mén)里是
;丁同學(xué)說(shuō):4號(hào)門(mén)里是
,3號(hào)門(mén)里是
.如果他們每人都猜對(duì)了一半,那么4號(hào)門(mén)里是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若存在實(shí)數(shù)
使得不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,部分對(duì)應(yīng)值如下表,又知
的導(dǎo)函數(shù)
的圖象如下圖所示:
0 | 4 | 5 | ||
1 | 2 | 2 | 1 |
則下列關(guān)于的命題:
①函數(shù)的極大值點(diǎn)為2;
②函數(shù)在
上是減函數(shù);
③如果當(dāng)時(shí),
的最大值是2,那么
的最大值為4;
④當(dāng),函數(shù)
有4個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知圓的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),若
是圓
與
軸正半軸的交點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,設(shè)過(guò)點(diǎn)
的圓
的切線(xiàn)為
.
(1)求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)求圓上到直線(xiàn)
的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (
為實(shí)常數(shù)).
(1)若,
,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且
,求函數(shù)
在
上的最小值及相應(yīng)的
值;
(3)設(shè),若存在
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015年12月,京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”,北方此輪污染為2015年以來(lái)最嚴(yán)重的污染過(guò)程,為了探究車(chē)流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車(chē)流量與
的數(shù)據(jù)如表:
時(shí)間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
車(chē)流量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點(diǎn)圖知與
具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,求
關(guān)于
的線(xiàn)性回歸方程;
的濃度;
(ii)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在
內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)
的濃度平均值在
內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為良,為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車(chē)流量在多少萬(wàn)輛以?xún)?nèi)?(結(jié)果以萬(wàn)輛為單位,保留整數(shù))
參考公式:回歸直線(xiàn)的方程是,其中
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
),其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若的兩個(gè)根分別為
,且滿(mǎn)足
,求
的值;
(2)當(dāng)時(shí),討論
的單調(diào)性.
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