Question

9．四面體OABC四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為：O（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，4，0）、C（0，2，2），則四面體OABC外接球的表面積為20π．

Answer 1

分析 可得OA=2，OC=BC=2$\sqrt{2}$，OB=4，AO⊥平面OBC，∠OCB=90°
易得BC⊥平面AOC，即BC⊥AC．
即AB的中點(diǎn)是四面體OABC外接球的球心，球的半徑R=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{5}$．
可得四面體OABC外接球的表面積

解答 解：如圖，由O（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，4，0）、C（0，2，2），可得
OA=2，OC=BC=2$\sqrt{2}$，OB=4，AO⊥平面OBC，∠OCB=90°
易得BC⊥平面AOC，即BC⊥AC．
∴AB是Rt△AOB和Rt△ACB的公共斜邊，
∴AB的中點(diǎn)是四面體OABC外接球的球心，球的半徑R=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{5}$．
∴四面體OABC外接球的表面積為4πR²=20π．
故答案為：20π

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的外接球的表面積，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．屬于中檔題．