Question

4．若函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1（a∈R）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），則x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）的取值范圍是（　�。�

• A． [1+$\frac{π}{6}$，2+$\frac{π}{6}$）
• B． [1+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$）
• C． [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{6}$，1+$\frac{π}{6}$）
• D． [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{3}$，1+$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得x=$\frac{π}{6}$是y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象的一條對(duì)稱軸，x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$，且2sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=1-a，由此求得x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1（a∈R）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），
即函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象和直線y=1-a有兩個(gè)交點(diǎn)．
而x=$\frac{π}{6}$是y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象的一條對(duì)稱軸，故x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$．
又x=0時(shí)，y=1，故2＞1-a≥1，∵2sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=1-a，
則x₁+x₂+sin（2x₁+$\frac{π}{6}$）+sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=x₁+x₂+1-a=$\frac{π}{3}$+1-a 的取值范圍是[1+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．