Question

16．給出下列命題：
①函數(shù)$y=cos（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$是奇函數(shù)；
②存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=2；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
④$x=\frac{π}{8}$是函數(shù)$y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一條對(duì)稱軸；
⑤函數(shù)$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{12}，0）$成中心對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)為①④．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)以及圖象特征，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)$y=cos（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$=-sin$\frac{2}{3}$x，而y=-sin$\frac{2}{3}$x是奇函數(shù)，故函數(shù)$y=cos（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$是奇函數(shù)，故①正確；
②因?yàn)閟inx，cosx不能同時(shí)取最大值1，所以不存在實(shí)數(shù)x使sinx+cosx=2成立，故②錯(cuò)誤．
③令 α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{13π}{6}$，則tanα=$\sqrt{3}$，tanβ=tan$\frac{13π}{6}$=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tanα＞tanβ，故③不成立．
④把x=$\frac{π}{8}$代入函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$），得y=-1，為函數(shù)的最小值，故$x=\frac{π}{8}$是函數(shù)$y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一條對(duì)稱軸，故④正確；
⑤因?yàn)閥=sin（2x+$\frac{π}{3}$）圖象的對(duì)稱中心在圖象上，而點(diǎn)$（\frac{π}{12}，0）$不在圖象上，所以⑤不成立．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)以及圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．