Question

13．如圖：已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AH是BC邊上的高，延長交⊙O于點D，AE是⊙O的直徑．
（1）求證：AE•BH=BD•AB；
（2）過點C作⊙O的切線，交BA延長線于點F，若AF=2，CF=4，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接BE．由于AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°．利用AH是BC邊上的高，∠BHD=90°，利用∠E=∠D．進而得到△ABE∽△BHD，即可得到AE•BH=BD•AB；
（2）利用切割線定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，即可得出AC的長．

解答 （1）證明：如圖所示，連接BE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°．
∵AH是BC邊上的高，∠BHD=90°．
∵∠E=∠D，
∴△ABE∽△BHD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BD}{BH}$，∴AE•BH=BD•AB．
（2）解：∵CF是⊙O的切線，∴CF²=AF•BF，
∵AF=2，CF=4，∴4²=2BF，解得BF=8．
∴AB=BF-AF=6．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，
∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵AF=2，CF=4，
∴AC=3．

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、三角形相似、切割線定理，屬于中檔題．