【題目】為了凈化空氣,某科研單位根據(jù)實驗得出,在一定范圍內(nèi),每噴灑1個單位的凈化劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關系式近似為y= 若多次噴灑,則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和.由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化空氣的作用.
(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑,則凈化時間可達幾天?
(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化,試求a的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取1.4).
【答案】(1) 8;(2)1.6.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題中條件每噴灑1個單位的凈化劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間 (單位:天)變化的函數(shù)關系已經(jīng)給出,則易得一次噴灑4個單位的凈化劑時的函數(shù)關系式: ,這樣就得到一個分段函數(shù),對分段函數(shù)的處理常用的原則:先分開,現(xiàn)合并,解兩個不等式即可求解; (2)中若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a()個單位的藥劑,根據(jù)題意從第6天開始濃度來源與兩方面,這是題中的難點,前面留下的為: ,后面新增的為: ,所得化簡即可得到: ,結合基本不等式知識求出最小值,最后解一個不等式: ,即可求解.
試題解析:(1)因為一次噴灑4個單位的凈化劑,
所以濃度
則當時,由,解得,所以此時. 3分
當時,由解得,所以此時.
綜合得,若一次投放4個單位的制劑,則有效凈化時間可達8天. 7分
(2)設從第一次噴灑起,經(jīng)x()天,
濃度. 10分
因為,而,
所以,故當且僅當時,y有最小值為.
令,解得,所以a的最小值為. 14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題;命題函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
(1)若命題為假命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若命題“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設{an}是等比數(shù)列,公比為q(q>0且q≠1),4a1 , 3a2 , 2a3成等差數(shù)列,且它的前4項和為S4=15.
(1)求{an}通項公式;
(2)令bn=an+2n(n=1,2,3…),求{bn}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面, , , , 為中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點,使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校進行社會實踐,對歲的人群隨機抽取 1000 人進行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,開通“微博”的為“時尚族”,否則稱為“非時尚族”.通過調(diào)查得到到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示,其中在歲, 歲年齡段人數(shù)中,“時尚族”人數(shù)分別占本組人數(shù)的、.
(1)求歲與歲年齡段“時尚族”的人數(shù);
(2)從歲和歲年齡段的“時尚族”中,采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡時尚達人大賽,其中兩人作為領隊.求領隊的兩人年齡都在歲內(nèi)的概率。
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【題目】已知一動點, 到點的距離減去它到軸距離的差都是.
()求動點的軌跡方程.
()設動點的軌跡為,已知定點、,直線、與軌跡的另一個交點分別為、.
(i)點能否為線段的中點,若能,求出直線的方程,若不能,說明理由.
(ii)求證:直線過定點.
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【題目】如圖,橢圓的左、右焦點為,右頂點為,上頂點為,若, 與軸垂直,且.
(1)求橢圓方程;
(2)過點且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于兩點,已知點,當時,求滿足的直線的斜率的取值范圍.
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【題目】橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當直線與軸平行時,直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在軸上是否存在異于點的定點,使得直線變化時,總有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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