Question

15．已知直線l：x-2y-2$\sqrt{5}$=0與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，P是圓C：x²+y²=2上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求△PMN面積的最小值；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到直線l的距離小于1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出M，N的坐標(biāo)，圓心到l的距離，即可求△PMN面積的最小值；
（Ⅱ）點(diǎn)P到直線l的距離的范圍為[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，點(diǎn)P到直線l的距離小于1的范圍為[2-$\sqrt{2}$，1），即可求點(diǎn)P到直線l的距離小于1的概率．

解答 解：（Ⅰ）$M（2\sqrt{5}，0），N（0，-\sqrt{5}）$；圓心到l的距離為d=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
所以${{（{{S}_{△PMN}}）}_{min}}=\frac{1}{2}×5×（2-\sqrt{2}）=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）點(diǎn)P到直線l的距離的范圍為[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，
點(diǎn)P到直線l的距離小于1的范圍為[2-$\sqrt{2}$，1），
∴點(diǎn)P到直線l的距離小于1的概率為$\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查幾何概型，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．