Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若a=4時(shí)，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減，[3，4]上單調(diào)遞增，即可求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x²-2ax-3≥0可得a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 在x∈[2，+∞]上恒成立，只要求 $\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 的最小值即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）a=4時(shí)，f（x）=x³-4x²-3x，
∴f′（x）=3x²-8x-3，
∴函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減，[3，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值為f（1）=-6，最小值為f（3）=-18；
（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x²-2ax-3≥0，
可得a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 在x∈[2，+∞]上恒成立，
∴只要求 $\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 的最小值即可，而y=$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$．
y′=$\frac{6{x}^{2}+6}{4{x}^{2}}$恒大于零，
∴y在R上為增函數(shù)，∴y_min=$\frac{9}{4}$，
∴a≤$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．