Question

18．直線l經(jīng)過點P（1，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為S，如果符合條件的直線l能作且只能作三條，則S=（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 解法一：由題意可設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-1）（k≠0），分別令x=0，令y=0，可得與坐標(biāo)軸的交點．S=$\frac{1}{2}$|2-k|•$|\frac{k-2}{k}|$，化為：k＞0時，化為：k²-（4+2S）k+4=0；k＜0時，化為：k²-（4-2S）k+1=0，根據(jù)符合條件的直線l能作且只能作三條，可得上述兩個方程一個僅有一個正解，而另一個有兩個不等的正解．
解法二：設(shè)x軸、y軸截距分別為a、b．對a，b分類討論：①a＞0，b＞0時，滿足S為定值的l只有1條．
②ab＜0時，滿足S為定值的l有2條．

解答 解：解法一：由題意可設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-1）（k≠0），令x=0，解得y=2-k；令y=0，解得x=$\frac{k-2}{k}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|2-k|•$|\frac{k-2}{k}|$，化為：k²-4k-2S|k|+4=0，即k＞0時，化為：k²-（4+2S）k+4=0；k＜0時，化為：k²-（4-2S）k+4=0，
∵符合條件的直線l能作且只能作三條，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2S＞0}\\{△=（4+2S）^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{4-2S＜0}\\{{△}_{1}=（4-2S）^{2}-16=0}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{4+2S＞0}\\{△=（4+2S）^{2}-16=0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{4-2S＜0}\\{{△}_{1}=（4-2S）^{2}-16＞0}\end{array}\right.$，
解得S=4．
解法二：設(shè)x軸、y軸截距分別為a、b．
①a＞0，b＞0時，滿足S為定值的l只有1條．
此時：$\frac{a}$=$\frac{2}{a-1}$，可得b=$\frac{2a}{a-1}$．（a＞1，b＞2）．
$S=\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×\frac{2{a}^{2}}{a-1}$=2+（a-1）+$\frac{1}{a-1}$≥2+2$\sqrt{（a-1）•\frac{1}{a-1}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時取等號，即a=2時，S=4．
②ab＜0時，滿足S為定值的l有2條．仿照①可得：當(dāng)a=$-2-2\sqrt{2}$，b=4（$\sqrt{2}$-1）時，S=4；當(dāng)a=2$\sqrt{2}$-2，b=-4（$\sqrt{2}$+1）時，S=4．
綜上可得：滿足S為定值4的l只有2+1=3條．
故選：B．

點評 本題考查了直線的截距、三角形面積計算公式、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．