1.已知$sinx+cosy=\frac{1}{3}$,則cosy+sin2x-1的最大值為$\frac{4}{9}$.

分析 由題意:$sinx+cosy=\frac{1}{3}$,可得:cosy=$\frac{1}{3}-sinx$,帶入cosy+sin2x-1,利用二次函數(shù)是性質(zhì)求解.

解答 解:由題意:$sinx+cosy=\frac{1}{3}$,
那么:cosy=$\frac{1}{3}-sinx$,
∵-1≤cosy≤1,
∴$-1≤\frac{1}{3}-sinx≤1$,
∴$-\frac{2}{3}$≤sinx≤$\frac{4}{3}$,
則:cosy+sin2x-1=$\frac{1}{3}-sinx+$sin2x-1=sin2x-sinx-$\frac{2}{3}$=(sinx-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{11}{12}$
當sinx=$-\frac{2}{3}$時,cosy+sin2x-1取得最大值$(-\frac{2}{3}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{11}{12}$=$\frac{4}{9}$.
故答案為:$\frac{4}{9}$.

點評 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用能力和有界限問題.屬于中檔題.

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