Question

13．已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的兩點(diǎn)，若曲線C上至少存在一點(diǎn)P，使|PM|=|PN|+6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列五條曲線：
①$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；      ②y²=4x；        ③$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；④$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；      ⑤x²+y²-2x-3=0
其中為“黃金曲線”的是②⑤．（寫出所有“黃金曲線”的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線，由此算出所求雙曲線的方程．再分別將雙曲線與五條曲線聯(lián)立，通過解方程判斷是否有交點(diǎn)，由此可得答案．

解答 解：∵點(diǎn)M（-5，0），N（5，0），點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線，可得b²=c²-a²=5²-3²=16，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），
對于①，兩方程聯(lián)立，無解．則①錯；
對于②，聯(lián)立y²=4x和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），解得x=$\frac{9+3\sqrt{73}}{8}$成立，則②成立；
對于③，聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），無解，則③錯；
對于④，聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），無解，則④錯；
對于⑤，聯(lián)立x²+y²-2x-3=0和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），化簡得25x²-18x-171=0，
由韋達(dá)定理可得兩根之積小于0，必有一個(gè)正根，則⑤成立．
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義和方程，考查聯(lián)立曲線方程求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．