Question

14．定義全集U的子集A的特征函數(shù)為f_A（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$，這里∁_UA表示集合A在全集U中的補(bǔ)集．已知A⊆U，B⊆U，給出以下結(jié)論：
①若A⊆B，則對(duì)于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
②對(duì)于任意x∈U，都有${f_{{∁_U}A}}$（x）=1-f_A（x）；
③對(duì)于任意x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
④對(duì)于任意x∈U，都有f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．
其中正確的結(jié)論有①②③．（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)①②③④各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，可得①②③都可以證明它們的正確性，而D項(xiàng)可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案．

解答 解：對(duì)于①，f_A（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈∁}_{U}B}\end{array}\right.$，
而∁_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對(duì)于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故①正確；
對(duì)于②，∵f_∁UA（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x{∈∁}_{U}A}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，
結(jié)合f_A（x）的表達(dá)式，可得f_∁UA（x）=1-f_A（x），故②正確；
對(duì)于③，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x{∈∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{{\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x∈A}\\{，x∈{∁_U}A}\end{array}$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈∁}_{U}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），故③正確；
對(duì)于④，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{0，x{∈∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$，
當(dāng)某個(gè)元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故f_A∪B（x）=1，
而f_A（x）=1且f_B（x）=0，可得f_A∪B（x）≠f_A（x）+f_B（x），故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的理解等知識(shí)，屬于中檔題．